Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон Страница 37

Пора спуститься с небес на землю и рассмотреть несколько примеров. Начнем с хорошо известных нам берегов: трехмерного евклидова пространства с декартовой системой координат (x, y, z). Мы знаем линейный элемент этого пространства — теорему Пифагора:

ds2 = dx2 + dy2 + dz2. (7.9)

Нет ничего проще, чем записать метрический тензор в матричной форме:

(7.10)

(Вы уже знаете, что левый верхний элемент матрицы — это g11, элемент справа от него — g12 и т. д. Поэтому в дальнейшем мы больше не будем писать индексы в явном виде.) Это метрика Евклида. Можно расширить ее на любое количество измерений, добавив новые столбцы и строки, в которых на диагонали будет стоять 1, а в остальных позициях — 0. Сам Евклид неявно использовал эту метрику, хотя и не знал такого термина. Метрика определяет геометрию.

Метрики можно записать и для других систем координат. Например, для полярной системы (r, θ), исходя из выражения (7.2), получим:

(7.11)

Нужно четко понимать, что элементы метрики всегда жестко связаны с какой-то системой координат. Так, выражение (7.11) имеет смысл только в полярной системе (r, θ), то есть когда x1 = r, а x2 = θ.

Существует трехмерная версия полярной системы координат — сферическая система (r, θ, φ). Мы говорили о ней в главе 4. Метрика плоского пространства в этой системе имеет вид:

(7.12)

Поскольку угол θ изменяется в пределах от 0° на северном полюсе до 90° на экваторе, а затем до 180° на южном полюсе, sin θ изменяется от 0 до 1, а затем снова до 0. Появление этой функции в элементе g33 в нижнем правом углу матрицы (7.12) показывает, что физическое расстояние, соответствующее одинаковому приращению координаты x3 = φ, у полюсов будет меньше, чем на экваторе.

Не будет лишним напомнить, что выражения (7.10) и (7.12) соответствуют одной и той же геометрии. Оба описывают «метрику Евклида», но в разных системах координат: декартовой и сферической соответственно.

Метрика в искривленном пространстве

Рассмотрим несложное многообразие с некоторой кривизной, например двумерную сферу. К счастью, метрику для нее достаточно легко получить на основе выражения (7.12) для плоского пространства и сферической системы координат. Сфера — это подмножество плоского пространства, которое можно получить, приняв координату r постоянной и равной некоторому числу R. Это приведет к тому, что верхняя строка и левый столбец утратят физический смысл, так как описывают изменения координаты r, невозможные на сфере. Поэтому, удалив лишнее из выражения (7.12), получим метрику для сферы и системы координат (x1, x2) = (θ, φ):

(7.13)

Это выражение похоже на формулу (7.12) — трехмерную метрику Евклида в сферических координатах — только с виду. На самом деле они не родственники. Здесь R — не координата, а неизменный параметр, который определяет размеры сферы. Но самое главное, эта метрика не является плоской. По внешнему виду отличить плоскую метрику от искривленной непросто. Выбранная система координат может скрыть от нас важную геометрию.

Вернемся к метрике двумерной гиперболической плоскости, которую изучали Лобачевский и Бойяи (хотя они применяли термин «плоскость» не чаще, чем Евклид). Как и всегда, сначала определимся с системой координат. Самая удобная из них получила название диска Пуанкаре. (Впервые ее использовал Эудженио Бельтрами, а лишь затем Анри Пуанкаре. Но он был знаменит, а знаменитости любят давать понятиям свои имена.)

В этой системе координаты обозначаются как (x1, x2) = (x, y), совсем как в плоской декартовой. Однако при этом вводится дополнительное ограничение: r < 1, где r — радиальная координата, расстояние от точки до начала координат. В такой системе двумерное гиперболическое пространство имеет метрику:

(7.14)

Здесь важно отметить несколько моментов. Во второй части выражения мы заменили фактические координаты — x и y — на . Имеем право так сделать. Главное — помнить о том, что r — это функция, которая зависит от координат. Также нам нужно иметь в виду, что гиперболическая плоскость не имеет границ: это седло, которое во всех направлениях простирается далеко в бесконечность. А вот координаты на ней имеют значения только в пределах r. И это вполне допустимо. Вспомните, как в главе 2 мы говорили о том, что можно преобразовать бесконечную длину в конечный интервал и наоборот. Именно так происходит и здесь: диск Пуанкаре бесконечен, но выбранная нами система координат охватывает только вполне конечную его часть.

Чтобы понять, что пространство бесконечно велико, достаточно посмотреть на метрику (7.14). Подумайте, что происходит при приближении к кромке диска, когда r → 1? Оба ненулевых элемента метрики содержат коэффициент 1/(1 — r2)2. Чем ближе r к 1, тем 1 — r2 ближе к 0, а 1/(1 — r2)2 — к бесконечности. Физически это означает, что любое приращение координат dx и dy у кромки диска будет соответствовать очень большим расстояниям. Несмотря на конечность координат, физические размеры многообразия бесконечно велики. В этом и состоит магия метрики.

На этом рисунке гиперболическое пространство с диском Пуанкаре в качестве системы координат представлено в виде треугольников. Кажется, что чем ближе к кромке диска, тем меньше треугольники, но это оптическая иллюзия, которая возникает из-за особенностей системы координат. В метрике (7.14) все они имеют одинаковые размеры и форму. Однако чем ближе к кромке, тем больше треугольников. Вдохновившись этим рисунком, знаменитый голландский художник М.К. Эшер создал серию гравюр под названием «Предел круга».

Тензоры

Метрика многообразия говорит нам о том, как вычислять расстояния. Однажды мы уже называли метрику «тензором», но не сказали, что это такое. Давайте разбираться.

Понять, что такое функция на многообразии, довольно просто: это отображение его точек на множество вещественных чисел. То есть мы присваиваем каждой точке какое-то число (значение функции), что позволяет, к примеру, определить плотность вещества в заданной точке. Мы давно уже знаем о векторах, которые имеют длину и направление. Благодаря этому мы можем с их помощью выразить, скажем, скорость частицы на указанной траектории.

Но иногда перед нами стоят более сложные вопросы, ответы на которые требуют нескольких векторов или же направлений в пространстве. К примеру, мы можем задаться целью оценить наложение векторов и друг на друга или же посмотреть, как в искривленном пространстве изменятся изначально параллельные траектории. Для этого нам пригодятся тензоры — геометрические величины, которые содержат все необходимые данные. Функции и векторы — разновидности тензоров. Однако для изучения искривленных пространств нам нужны их более сложные варианты.

Представить себе тензор можно двумя способами. Мы уже знаем один из них: это массив элементов, пронумерованных при помощи индексов. В этом плане все рассмотренные нами матрицы можно назвать тензорами. Там есть интересные правила, которые говорят, как должны изменяться элементы при изменении координат, но нас они не касаются.