Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон Страница 36

Тут можно читать бесплатно Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон. Жанр: Научные и научно-популярные книги / Научпоп. Так же Вы можете читать полную версию (весь текст) онлайн без регистрации и SMS на сайте FullBooks.club (Фулбукс) или прочесть краткое содержание, предисловие (аннотацию), описание и ознакомиться с отзывами (комментариями) о произведении.
Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон

Внимание! Книга может содержать контент только для совершеннолетних. Для несовершеннолетних просмотр данного контента СТРОГО ЗАПРЕЩЕН! Если в книге присутствует наличие пропаганды ЛГБТ и другого, запрещенного контента - просьба написать на почту pbn.book@yandex.ru для удаления материала


Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон краткое содержание

Прочтите описание перед тем, как прочитать онлайн книгу «Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон» бесплатно полную версию:

Ученые знают о том, как устроены наш мир, Вселенная, но знания эти чаще всего выражаются в виде формул, которые кажутся нам беспорядочным нагромождением букв и символов. Благодаря Шону Кэрроллу вы увидите в них вдохновляющую поэзию, взлетите в небеса, окрыленные ею, чтобы смотреть на чудесную многомерную страну — искривленное пространство-время, — в которой живут сияющие гиганты и действуют могучие силы. Высшая математика, словно веками полировавшийся алмаз, сама по себе достойна не меньшего восхищения, чем «Мона Лиза». Это язык, на котором написаны научные поэмы о черных дырах.

Книга написана в традициях легендарных лекций Ричарда Фейнмана, которые тот прочел шестьдесят лет назад. Это ослепительно яркий прожектор, помогающий людям из самых разных культур и поколений по-новому посмотреть на окружающий мир.

Шон Кэрролл, как никто другой, может объяснить самые трудные для понимания концепции, приоткрыть завесу, столь долго скрывавшую самые важные конструкции современной науки. Он обладает особым талантом излагать сложнейшие понятия в увлекательной форме, доходчиво доводить до читателя фундаментальные идеи, лежащие в основе реальной физики.

Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон читать онлайн бесплатно

Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон - читать книгу онлайн бесплатно, автор Кэрролл Шон

ds2 = dx2 + dy2. (7.1)

Пока что все просто. Но у декартовых координат есть одна особенность: при постоянном x линии всегда идеально прямые и параллельны друг другу. При постоянном y все то же самое. Если аксиома параллельности не выполняется (то есть многообразие не является евклидовым), определить координаты получится не во всех точках. К примеру, на сфере декартовых координат вообще быть не может.

Но даже на плоском многообразии мы не обязаны использовать декартову систему координат. Возьмем вместо нее полярную систему, в которой положение точки на плоскости определяется расстоянием r до центра системы и углом θ относительно горизонтальной оси. Вычислим длину бесконечно малого сегмента кривой в этих координатах.

Физическая длина, соответствующая изменению угла dθ, не постоянна, но возрастает с увеличением r. При постоянном r она, очевидно, будет равна rdθ. Поэтому формула для произвольного бесконечно малого сегмента будет иметь вид:

ds2 = dr 2 + r 2dθ2. (7.2)

Это почти теорема Пифагора, но с множителем r2 перед dθ2, который как раз и выражает мысль о том, что приращение dθ возрастает с увеличением длины r. Мы сохраняем дух теоремы Пифагора, но как бы обобщаем ее, вносим в нее влияние физических расстояний на приращение координат.

Линейный элемент

Вдохновляясь этим примером, попробуем понять, что такое линейный элемент — универсальная формула, которая позволяет определить длину произвольного бесконечно малого сегмента ds, выраженного через бесконечно малые приращения координат. Для простоты начнем с двумерного многообразия.

Допустим, что у нас есть две координаты (x1, x2). В данном случае надстрочные цифры — индексы, а не степени (так же, как при разговоре о компонентах вектора). Нам нужно связать расстояние ds с приращениями координат dxi. Не забывая теорему Пифагора, мы можем ожидать, что квадрат расстояния ds2 будет связан с квадратами приращений координат, к примеру (dx1)2. (Это квадрат dx1, так что теперь надстрочные цифры — и индексы, и степени. Не путайте!) Чтобы получить формулу в как можно более общем виде, нам нужно учесть наличие «перекрестных членов», произведений координат (dx1dx2). Кроме того, у нас могут быть множители, которые сами по себе зависят от координат, как, например, в полярной системе.

В самом общем виде формула двумерного линейного элемента имеет вид:

(7.3)

Тут очень много скобок и надстрочных символов. Вдохнем поглубже и попытаемся в них разобраться. Три величины, A, B и C, — это числа, значения которых зависят от конкретной точки многообразия. Поэтому мы записали их в виде функций от координат (x1, x2). Каждое из них умножается на произведение приращений координат dx1 и dx2 в трех возможных сочетаниях: (dx1)2, (dx2)2 и dx1dx2. Последнее произведение важно, когда оси координат не перпендикулярны друг к другу.

Формула (7.3) имеет огромное значение, ведь если три функции, A(x1, x2), B(x1, x2) и C(x1, x2), известны, то с ее помощью можно найти длину любой произвольной кривой. Риман утверждает, что этих данных достаточно, чтобы полностью определить геометрию многообразия. Эти функции хранят в себе сведения обо всем: углах, площадях, кривизне, обо всем, что мы захотим узнать. Этот принцип будет работать при любом количестве измерений, но с той лишь разницей, что станет больше и функций. В d-мерном пространстве для полного определения линейного элемента потребуется d(d + 1)/2 функций.

Извлечь геометрические данные из этих функций не очень-то просто. Проблема в том, что в разных системах координат линейный элемент может иметь разное выражение, хотя геометрия от этого никак не зависит. Мы уже видели это на примере плоской поверхности. В декартовых координатах линейный элемент (7.1) принимает вид (7.3) при следующих функциях:

A(x, y) = 1, B(x, y) = 0, C(x, y) = 1. (7.4)

Если же взять полярную систему координат и формулу (7.2), понадобятся другие функции:

A(r, θ) = 1, B(r, θ) = 0, C(r, θ) = r 2. (7.5)

Одна и та же геометрия, но разные варианты линейного элемента для разных систем координат. Но геометрии нет дела до них, плодов человеческой изобретательности, не имеющих никакого отношения к внутренним свойствам многообразия. Чтобы выдавить из линейных элементов сведения о кривизне, придется нажать на них посильнее.

Метрика

Для начала подумаем о более удобных обозначениях. Чем больше измерений, тем больше функций придется ввести для линейного элемента, а значит, хорошие обозначения — уже огромное подспорье.

Ввести такое обозначение несложно: воспользуемся схемой, которую дает выражение (7.3). Мы будем рассматривать пары приращений dxi и dxj, где i и j — индексы, значения которых определяются количеством измерений. Индексы могут иметь как разные, так и одинаковые значения. Для каждой пары определим функцию пространства-времени gij(x), причем в данном случае буква x обозначает все координаты сразу. Буквы i и j сами по себе не несут никакого конкретного смысла, мы можем использовать любые. Таким образом, на (dx1)2 мы будем умножать функцию g11, на dx1dx2 — функцию g12 и т. д.

Все эти функции можно записать в виде матрицы[21]. Например, для трехмерного пространства:

(7.6)

Мы получили знаменитый метрический тензор, объект, который окажется в центре внимания при разговоре об общей теории относительности. Каждое значение в матрице (элемент метрики) является функцией координат. Знание всех элементов метрики позволяет получить все данные о геометрии рассматриваемого многообразия. Обычно, когда перед физиком стоит какая-то исследовательская задача из общей теории относительности, он пытается либо найти метрику с нуля (например, если энергия и материя распределены каким-то определенным образом), либо вывести ее из уже существующих метрик. (Несмотря на то что в теории относительности метрики описывают пространство-время, а не обычное пространство, это на удивление мало влияет на математические формулы. Мы просто используем греческие буквы для обозначения элементов.)

Метрика — точный эквивалент линейного элемента. Связь между ними очень проста:

(7.7)

Таким образом, зная все элементы метрики, мы можем вычислить длину любой кривой. А значит, хоть это может быть не слишком очевидно, мы также можем находить углы между линиями, площади, объемы и многое другое.

Наш двумерный линейный элемент (7.3), как и следовало ожидать, вписывается в эту схему. Мы можем записать, что:

(7.8)

Как можно заметить, значение B появляется в этой метрике дважды, но оба раза делится пополам. Это связано с тем, что при буквальном применении формула (7.7) дает отдельные множители для математически равных произведений dx1dx2 и dx2dx1. Поэтому мы должны потребовать, чтобы метрика была симметричной, то есть для любых пар i и j соблюдалось равенство gij = gji. В матричной форме это означает, что элементы в правом верхнем и левом нижнем углах равны.

Перейти на страницу:
Вы автор?
Жалоба
Все книги на сайте размещаются его пользователями. Приносим свои глубочайшие извинения, если Ваша книга была опубликована без Вашего на то согласия.
Напишите нам, и мы в срочном порядке примем меры.
Комментарии / Отзывы
    Ничего не найдено.