Суперфрактал - Сергей Леонидович Деменок Страница 32

является фрактальным образованием, в котором можно выделить фрактальные подструктуры. Рассмотрим пример «задачи узлов на квадратной решетке». Типовая решетка состоит из островов и связей (проводящая часть кластера), а также из мертвых концов. Мертвые концы составляют большую часть кластера, однако не участвуют в проводимости. Критические связи — одиночные связи, при разрушении которых перколяционный кластер перестает проводить ток. Скелет кластера — объединение всех кратчайших путей от данного узла до узлов на заданном расстоянии. Эластичный остов — объединение всех кратчайших путей между двумя данными узлами. Оболочка, или внешний периметр, состоит из тех узлов кластера, которые соприкасаются с пустыми узлами и соединены с бесконечностью посредством пустых узлов. Полный периметр включает также пустоты внутри кластера.

Было предложено несколько геометрических моделей, описывающих структуру перколяционного кластера. Первой моделью такого рода была модель Скал — Шкловского — де Жена.

В 1974 году советские физики А. С. Скал и Б. И. Шкловский, а в 1976 году независимо от них французский физик Пьер Жиль де Жен, предложили модель, описывающую структуру остова перколяционного кластера в пренебрежении мертвыми концами. Модель была предложена, чтобы предсказывать и описывать такие свойства, как проводимость и эффект Холла. В этой модели предполагается, что кластер состоит из искривленных связей, соединенных узлами, образуя нерегулярную сверхрешетку с параметром ξ, т. е. ξ является средним геометрическим расстоянием между ближайшими узлами.

Перколяционный кластер в модели капель и связей. Показана только малая часть мертвых концов (тонкие линии). Капли представлены в виде окружностей. Расстояние между каплями и их диаметры имеют величину порядка корреляционной длины

Первые три шага построения иерархической модели

Несмотря на то что модель представляет ограниченный практический интерес, она имеет один важный аспект: является точной мерой плотности проводящих путей в типичном сечении образца. Это следует из того, что главное упрощающее предположение, сделанное в модели, является предположением о том, что в бесконечном кластере имеется только одна петля. Это справедливо только в случае больших размерностей (6 и выше). В случае малых размерностей кластер состоит из петель, находящихся внутри других петель, которые в свою очередь находятся в других петлях, и т. д. Это справедливо во всех размерностях, и среднее расстояние между независимыми проводящими путями равно ξ.

В 1977 году Стенли предложил модель капель и связей. Она подробно исследована в 1982 году Конильо. В этой модели предполагается, что возникающий бесконечный кластер состоит из фрагментов, в которых существуют многочисленные связи (капли), эти фрагменты соединены друг с другом одиночными связями.

Эта модель уже прямо указывает на фрактальную интерпретацию эффектов перколяции. Посмотрите на фрактал Мандельброта — Гивена. В структуре фрактала Мандельброта — Гивена можно обнаружить петли, ветви и мертвые концы всех размеров. Таким образом, фрактал содержит те же элементы, что и перколяционный кластер. Это одна из многочисленных фрактальных структур, которые успешно применяются для моделирования перколяционных кластеров, таких как «ковер Серпинского» или «губка Менгера».

Этапы построения фрактала Мандельброта — Гивена

Перколяция и гидродинамика Вселенной В. И. Арнольд, «Математическое понимание природы» 

Аффинное преобразование

В 1981 году вышла книга британского ботаника Джона Хатчинсона «Фракталы и самоподобие», в которой рассматривался новый метод преобразования изображений. В 1985 году Майкл Барнсли, ведущий исследователь компании «Georgia Tech», опубликовал работу, в которой он ввел в математику понятие системы итерируемых функций (СИФ). Преобразование образов с помощью систем итерируемых функций стало одним из наиболее замечательных и глубоких достижений в теории фракталов. С легкой руки Майкла Барнсли этот метод приобрел броское, почти рекламное обозначение. Его стали называть «игрой хаоса».

Прежде чем перейти к «игре хаоса», договоримся о понятии аффинного преобразования. Преобразования сжатия, растяжения, переноса и поворота объекта называются аффинными преобразованиями. Аффинные преобразования есть линейные преобразования в том смысле, что они могут быть представлены в виде линейной функции:

ƒ(x) = A • x + B,

где параметр А задает аффинное преобразование, а В — перенос, или так называемую трансляцию образа.

Действие аффинного отображения на единичный квадрат ABCD

Аффинное преобразование на комплексной плоскости можно задать системой уравнений:

xn+1 = axn + byn + e,

yn+1 = cxn + dyn + ƒ

или матрицей:

В общем случае аффинное преобразование на плоскости определяется шестью независимыми действительными числами. Два числа е и ƒ описывают обычную трансляцию, а четыре числа а, b, с, d задают произвольное линейное преобразование при неизменном положении начала координат (0,0). Коэффициенты а, b, с, d, e, f можно считать символическим кодом некоторого аффинного преобразования. Каждая точка образа переводится посредством аффинной трансформации в новую точку на той же плоскости. Обычно преобразование образа сводится к нескольким аффинным преобразованиям, выполненным одно за другим. Коды всех преобразований можно представить в форме матрицы С:

Для примера рассмотрим треугольник Серпинского. Построение треугольника Серпинского можно описать простым геометрическим алгоритмом. Для начала из правильного треугольника удалим среднюю четверть в виде подобного ему правильного треугольника. С оставшимися тремя треугольниками повторим ту же процедуру. И так далее — с остающимися на каждом шаге треугольниками поступают аналогично.

Этот алгоритм можно формализовать с помощью трех аффинных преобразований:

Исходный блок может быть треугольником, но может иметь и любую другую форму. Форма блока не имеет значения. Пусть это будет квадрат. Преобразования ω будут смещать и уменьшать исходный квадрат:

Первые несколько итераций изображены на рисунке.

Теперь мы готовы рассмотреть «игру хаоса».

Игра хаоса

Суть предложенной Барнсли «игры» в том, что каждая строка матрицы С и, следовательно, каждое преобразование будет выбираться случайным образом с вероятностью р. Причем сумма вероятностей всех строк равна единице.

Для иллюстрации выберем на листе начальную точку — неважно, где именно. Придумываем два правила — для орла и для решки. Правила указывают, каким образом надо перемещать фишки, например: «переместиться на два дюйма на восток» или «приблизиться на 25% к центру». Подбрасывая монетку, начинаем отмечать точки на игровом поле. Используем правило орла, когда выпадает орел, и правило решки — когда выпадает решка. Если мы отбросим первые пятьдесят точек, то обнаружим, что точки на плоскости