Суперфрактал - Сергей Леонидович Деменок Страница 22

математике. Это уравнение можно изучать феноменологически, итерируя его на калькуляторе или даже вручную. Такое изучение очень обогащало бы интуитивные представления учащегося о нелинейных системах... Для всех нас было бы лучше, если бы не только в научной работе, но и в повседневной политической и экономической жизни как можно больше людей поняло, что простые нелинейные системы не всегда обладают простыми динамическими свойствами».

Глава III.

Фракталы и сложность

• Сложность простоты

• Фрактальные границы Ньютона

• Фрактал Мандельброта — метафрактал

• Клеточные автоматы

• Мультифракталы

• Перколяция: поры и сети

• Аффинное преобразование

• Игра хаоса

• Фрактальное кодирование

• Суперфракталы

• Алеаторные фракталы

Х.-О Пайтген, П. X Рихтер. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. 1989

Сложность простоты

Мир в целом становился более чувственным и более эмоциональным, оставаясь рациональным. Эмоциональное развивается в сторону все более сложных и тонких эмоций. Рациональное стремится к простоте. Оба тренда согласованы и чудесным образом совместимы:

Простой алгоритм производит сложные формы.

Сложной форме границ сопутствует сложная внутренняя организация фрагментов сложных систем, таких, как многообразие Жюлиа. Разнообразие множеств Жюлиа кажется ошеломляющим. И все же каждое из множеств Жюлиа строго и точно сопряжено со всеми остальными множествами из семейства множеств Жюлиа. Эта согласованность проявляет себя в том, что есть некоторое организующее множество, своего рода путеводитель в мире множеств Жюлиа. Это множество Мандельброта. Каждая точка множества Мандельброта говорит нам о том, какого вида множество Жюлиа следует ожидать для данного значения постоянной С в алгоритме Жюлиа.

Многообразию множеств Жюлия сопутствует «единообразное многообразие» — множество Мандельброта. Оно проявляется снова и снова, различных размеров, но всегда одной и той же формы. Оно не является множеством Жюлиа, а представляет собой структуру организации таких множеств. Оно напоминает геном: каждая клетка содержит полный геном, совокупность всех форм проявления, но в любой точке организма на самом деле проявляется только некоторая малая часть этих форм.

Сам по себе порядок Мандельброта в структуре всех множеств Жюлиа свидетельствует о том, что сложное поддается систематическому изучению. Благодаря вычислительной технике удается привести в порядок огромный массив информации, придав ей вид и смысл.

Например, мы можем раскрасить фрактал. Это есть своего рода кодирование. Выбор цвета, с одной стороны, приводит к некоторой потере информации, с другой стороны — перераспределяет акценты внимания в силу воздействия на наше эмоциональное восприятие. Сложность появляется на границе множества Мандельброта. На простом черно-белом изображении этого не видно (черный цвет соответствует связным, а белый — разрывным множествам Жюлиа). Даже 256 оттенков могут дать только слабый намек на действительную сложность границы множества Мандельброта. Чтобы понять структуру границы, требуется рассматривать ее в динамике — в процессе построения.

Каким образом раскрашивается окрестность множества Мандельброта?

Представим себе, что множество изготовлено из металла и несет на себе электрический заряд. Тогда его поверхность имеет постоянный электрический потенциал, скажем, 1000 V. В области, окружающей проводник, потенциал падает до ноля, и мы отмечаем линии постоянного напряжения, так называемые эквипотенциальные линии. Например, линия, соответствующая потенциалу в 1 V, настолько далека от проводника, что выглядит почти окружностью, так как с такого расстояния М кажется почти точечным зарядом. Линия 900 V, напротив, несколько напоминает форму М, а линия 999 V уже довольно точно повторяет его контуры. Раскраска наших рисунков соответствует этим линиям. Все точки, лежащие между двумя такими линиями, окрашиваются одинаково. Разные цвета дают контурную карту электростатического потенциала между границей М и бесконечностью. В 1983 году француз Адриен Дуади и американец Джон Хаббард доказали, что эквипотенциальные линии точно отражают динамику критической точки х = 0. Эквипотенциальные линии являются линиями одинакового времени убегания в бесконечность начальной точки х0 = 0.

Множество Мандельброта с эквипотенциальными линиями и силовыми линиями поля

Множество Мандельброта не относится к множествам Жюлиа, но они теснейшим образом связаны и структурно подобны. На это указывает тот факт, что формы отдельных фрагментов множества Мандельброта напоминают формы множества Жюлиа. Множество Мандельброта появилось как следствие исследования границы между сплошными и разрывными множествами Жюлиа. Именно граница множества Мандельброта указывает на изменение природы множеств Жюлиа. Когда параметр С покидает множество Мандельброта, множества Жюлиа теряют свою связность, взрываются и превращаются в пыль.

Этот переход «в пыль» связан с тем, что каждая точка множества Жюлиа одновременно касается областей притяжения всех аттракторов. На определенном удалении от скопления аттракторов такое пересечение границ теряет свою непрерывность.

Переход от непрерывности к дискретности тесно связан с притяжением, а тема притяжения неизбежно притягивает идеи Ньютона.

Фрактальные границы Ньютона

Сэр Исаак Ньютон заложил основы классической механики, оптики, исчисления бесконечно малых. Но кроме того он открыл еще множество менее известных методов, с пользой применяющихся и сегодня. Например, он формализовал алгоритм «проб и ошибок», известный со времен античности. Решение начинается с выбора произвольного числа. Далее итерация этого числа по определенному алгоритму приводит к решению. Процесс обыкновенно идет достаточно быстро, и количество точных цифр после запятой, как правило, удваивается с каждым шагом. Примером такого итерационного алгоритма служит «метод касательных».

Пусть задана функция ƒ (х), для которой известно приближенное значение ее корня x1 также значение функции ƒ (x1) и ее производная ƒ′(x1). Тогда, проводя касательную к графику функции ƒ (х) в точке х1 и определяя ее пересечение с осью ОХ, получаем уточненное значение корня, равное х2. Поскольку уравнение касательной имеет вид

y=ƒ′(x1)(x-x1)+ƒ(x1),

то, приравняв его к нолю, получим формулу для расчета

x2=x1-[ƒ(x1)/ƒ′(x1)].

Теперь, беря значение х2 в качестве приближенного значения корня и повторяя этот алгоритм, находим следующее значение х3 и так далее. Этот процесс быстро сходится к искомому значению корня.

Решения действуют как центры притяжения, а тема притяжения всегда притягивала Ньютона!

Единственный досадный недостаток этого метода в том, что уравнения обычно имеют более одного корня, особенно если среди этих корней есть комплексные решения. Какое именно решение будет найдено с помощью