Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни - Сергей Борисович Самойленко Страница 10

конкретное, а вообще любое) тоже будет равна нулю. Драматизма этому факту придает то обстоятельство, что множество рациональных чисел не просто бесконечно, оно всюду плотно. Это значит, что в любой сколь угодно малой окрестности выбранной рациональной точки можно обнаруживать новые и новые рациональные точки. Если мы захотим изобразить это множество графически на числовой оси, то можем брать карандаш и смело рисовать сплошную прямую на ней. Однако и это множество имеет нулевую меру на множестве всех вещественных чисел! Доказательство того, что рациональные числа образуют плотное подмножество нулевой меры множества вещественных чисел, наделало шума в конце XIX века. В таких случаях математики говорят: случайно выбранное вещественное число почти наверняка будет иррациональным. Как бы странно ни звучало, но «почти наверняка» — точный математический термин, означающий, что событие — дополнение подмножества вероятностного пространства нулевой меры.

Если бы пифагорейцам удалось заглянуть в науку будущего, они пришли бы в недоумение, обнаружив, что верные и понятные рациональные числа — как им казалось, единственно возможные, на которых строилась вся их математика, — практически не встречаются на числовой оси! Вот уж точно — закон подлости! И если в быту мы чаще всего встречаем целые числа или несложные дроби, то даже в повседневной физике или геометрии «работает» большое количество иррациональных зависимостей (корни различных степеней) и трансцендентных функций (синусы, логарифмы и т. п.), делающее рациональные и целые решения редкостью. Среди фундаментальных физических констант нет «фундаментально» рациональных чисел. Некоторые из них — такие как скорость света, заряд электрона, постоянные Планка и Больцмана[9] — приняты рациональными или целыми по соглашению. Просто единицы измерения подобраны так, чтобы фиксировать количество значимых цифр в этих константах, поэтому в таблицах такие величины указаны «точно», но эта точность в известном смысле искусственная, принятая для удобства.

Если кто-то терпеливо проведет тысячу экспериментов с монеткой и радостно скажет вам, что у него получилось столько же выпадений «орлов», сколько и «решек», можете смело выразить сомнение или поздравить его с редкой удачей. Хоть бросание монетки — дискретный случайный процесс, по мере накопления статистики мощность вероятностного пространства будет расти, а мера события «число „орлов“ совпадает с числом „решек“» станет уменьшаться. Можно показать, что вероятность этого «самого вероятного» события уменьшается с ростом числа испытаний как . Для сотни бросаний это около 8 %, для десяти тысяч — в десять раз меньше.

Мы еще вернемся к этим рассуждениям в одной из следующих глав, когда зададимся вопросом о том, насколько каждый из нас может считать себя нормальным.

О коварстве географических карт

Я хочу вернуться к толкованию вероятности и продемонстрировать эквивалентность ее колмогоровского и частотного определений. Мы раскроем загадку одного закона подлости, который не вошел в классические книги по мерфологии, но хорошо известен туристам, геологам и всем, кто пользуется топографическими картами:

То место, куда направляется турист, чаще всего оказывается либо на сгибе карты, либо на краю листа.

Раскроем карту, чтобы найти на ней какой-нибудь объект. Предположим, нас одинаково часто интересуют объекты, расположенные на всех участках карты. Причем не объекты сами по себе как точки. Весь смысл использования карты состоит в обозрении окрестностей объекта, некой конечной площади. Пусть нам достаточно будет некоторой малой доли α от площади карты S, чтобы понять, как попасть туда, куда нужно. Если то, что мы ищем, окажется недалеко от сгиба или края карты, скажем ближе какого-то критического расстояния d, мы можем счесть, что закон туриста сработал. Доля таких пограничных площадей в общей площади карты даст нам вероятность испытать этот закон подлости на себе. Вот как выглядят неприятные участки карты при α = 0,5 % и всего одном сгибе (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Серым выделены «нехорошие» участки. Отдельно показан участок с полупроцентной площадью для карты размерами 40×50 см, она имеет размер, слегка превышающий 3 см

Для окрестности в форме квадратика  Неприятные полоски будут иметь площадь  Четыре полосы: две вертикальные и две горизонтальные — расположатся у края; любой дополнительный изгиб, горизонтальный или вертикальный, добавит еще одну полоску. А теперь воспользуемся свойством аддитивности мер и вычислим меру объединения всех полосок как сумму их площадей, за вычетом площади пересечений. При этом следует заметить, что пересекающиеся полоски формируют квадратики площадью d2 = αS.

Сложив карту так, чтобы получилось n горизонтальных и m вертикальных изгибов, мы получим суммарную площадь неприятной зоны, равную  Разделив ее на площадь всей карты S, получим неприятную долю общей площади, выраженную только через количество сгибов и α. Отсюда получаем вероятность оказаться в этой доле при случайном выборе объекта:

На рисунке 2.4 заливкой показаны области, в которых эта доля превышает 50 % для различных значений α. Например, приняв α = 0,75 % и сложив карту вдвое в одном направлении (одна складка) и вчетверо — в другом (три складки), мы найдем, что вероятность попасть в неудобное место превысит 50 %.

Рис. 2.4. Зоны, в которых вероятность оказаться на сгибе карты или на ее краю, превышают 50 %. Числами отмечены значения α

Чаще всего карты имеют по три вертикальные и три горизонтальные складки, что дает вероятность выполнения закона подлости около 60 % при весьма незначительном α = 0,5 %.

Проверяем честность реальной монеты

Теперь мы можем вернуться к вопросу, с которого начался наш разговор: насколько может быть честна реальная монетка? Колмогоровское определение вероятности дополнило ее частотное определение и свело его к геометрическому (как к доле «объема» события в общем «объеме» возможностей). Таким образом, доля площади белых полосок на рис. 2.1 отражает вероятность того, что монетка в результате эксперимента не поменяет исходной ориентации, а доля серых — вероятность получить обратную ориентацию. Монетку мы можем считать честным генератором двух этих равновероятных исходов, только если сможем показать, что общая площадь белых полосок равна общей площади закрашенных.