Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон Страница 19

В пространствах с иным количеством измерений закон всемирного тяготения будет другим. Например, в двумерном пространстве источник гравитации находится в центре одномерной окружности, а не двумерной сферы. Поэтому плотность силовых линий и, соответственно, сила тяготения будут уменьшаться пропорционально расстоянию, а не его квадрату. В четырехмерном пространстве нам бы пришлось иметь дело с трехмерными гиперсферами. Их сложно нарисовать, а потому, полагаясь на чистую математику, можно сказать, что там будет действовать закон обратных кубов. В общем случае, то есть в d-мерном пространстве, сила притяжения будет пропорциональна 1/r d–1.

Подобные рассуждения могут навести на мысль о том, что закону обратных квадратов так или иначе подчинены все силы в природе. Но это не так, по крайней мере — не всегда. На уровне элементарных частиц существуют «сильные» и «слабые» ядерные взаимодействия, которые действуют на очень малых расстояниях, а затем быстро снижаются почти до нуля. Причины разные. В случае сильных взаимодействий силовые линии переплетаются друг с другом, а не тянутся в бесконечность, в случае слабых — они как будто постепенно затухают (а на самом деле поглощаются полем Хиггса, которое проходит сквозь все пространство). Что же, никто и не говорил о том, что в природе все и везде одинаково.

Еще один классический пример закона обратных квадратов — закон Кулона. Электрическое поле заряженной частицы создает силовые линии, которые уходят в бесконечность (если только не проходят вблизи других заряженных частиц, что случается часто). Поэтому сила электрического поля подчиняется закону обратных квадратов. По крайней мере в трехмерном пространстве.

Эксперименты с электрическим полем и навели ученых на мысли о силовых линиях. Впервые эту идею высказал Майкл Фарадей в середине XIX века. Фарадей был сыном бедного деревенского кузнеца, но подростком стал подмастерьем местного книготорговца и получил возможность учиться, читая книги. Потом Фарадей работал в Королевском институте в Лондоне, где занимался сначала химией (открыл бензол, изобрел первый вариант горелки Бунзена), а затем увлекся электричеством и магнетизмом и далеко продвинулся в этой области. В последствии Максвелл, который был сильным математиком, привел открытия Фарадея к системе строгих уравнений. Он же объединил электричество и магнетизм в единый раздел физики — электромагнетизм.

Новый взгляд на импульс и скорость

Что делает пространство пространством? То есть какие свойства этого мира позволяют нам описать его как «нечто, распределенное в пространстве»? (И развивающееся во времени, но об этом в следующей главе.)

Чтобы ответить на этот вопрос, займемся любимым делом: посмотрим на классическую механику свежим взглядом. Мы уже смотрели на нее глазами Ньютона и Лагранжа. Первый из них определял развитие системы из начального состояния (положения и скорости) при помощи своих законов, второй использовал принцип наименьшего действия, чтобы найти траекторию между начальным и конечным состояниями.

Теперь мы поговорим о том, как видел классическую механику Гамильтон. Он предложил считать, что импульс существует сам по себе, не зависит от скорости. Такой подход может показаться странным и мало чем отличным от строгих формул Ньютона. На самом деле отличие есть и довольно большое. Оно помогает понять, почему пространство — настолько важное понятие.

В предыдущей главе мы говорили о фазовом пространстве: множестве всех возможных положений и импульсов, которые может иметь система. Согласно парадигме Лапласа, достаточно указать одну точку в фазовом пространстве, чтобы определить всю траекторию системы (по крайней мере участок, на котором она не подвергалась внешним воздействиям). При этом, хоть мы и сделали импульс частью фазового пространства, мы знаем: в механике Ньютона импульс и скорость связаны друг с другом формулой .

Красивая картина. Но есть в ней один изъян, совсем небольшой, так что его очень трудно заметить. Вся суть парадигмы Лапласа состоит в том, что состояние системы в будущем определяется положением и скоростью в какой-то момент времени. Но скорость есть производная положения. Чтобы ее найти, следует заглянуть в будущее, посмотреть на систему мгновение спустя. Даже если такое мгновение — бесконечно малая величина, мы все равно используем не одно, а несколько разнесенных по времени состояний системы. И это немного противоречит философии Лапласа.

Механика Гамильтона

Гамильтон предложил довольно элегантное решение этой проблемы. Мы вновь начинаем с фазового пространства, множества всех положений и импульсов системы. Однако теперь мы говорим о векторе импульса, а не о скорости. Мы не определяем импульс как произведение массы на скорость, а принимаем его за понятие, независимое, по статусу равное положению. Поэтому у частицы (или более сложной системы) в любой момент времени есть два независимых свойства: положение и вектор импульса. Независимость импульса от чего бы то ни было позволяет нам определить состояние системы в текущий момент времени, не глядя на нее мгновение спустя.

Механика Гамильтона работает так. У нас есть фазовое пространство, множество всех импульсов p и координат x. (Для простоты изложения мы не будем обозначать векторы стрелочками, а также нумеровать части системы при помощи индексов. Мы примем это за очевидные вещи.) Мы можем определить функцию H(x, p) — гамильтониан, — которая, вообще говоря, представляет собой энергию системы, выраженную через импульс и положение.

Мы знаем, что потенциальная энергия системы зависит только от ее положения. Примем ее равной V(x). В механике Ньютона кинетическая энергия равна , но нам нужна зависимость от импульса, а не от скорости. Импульс и скорость связаны формулой p = mν. Выразим скорость через импульс (v = p/m) и подставим в уравнение кинетической энергии. Получим K = p2/(2m). Теперь мы можем записать, что

Гамильтониан = Кинетическая энергия + Потенциальная энергия:

(4.1)

Пока что мы просто выразили энергию через импульс (не скорость) и положение. Но это не все. Самое интересное в том, что мы можем вывести уравнения движения системы, начав только с выражения (4.1). Чуть позже мы выясним, как это делается. Сейчас же сразу перейдем к результатам, чтобы понять, какие выводы можно сделать.

Механика Ньютона сосредоточена вокруг одной переменной — положения x(t) как функции времени. В зависимости от нее определяются скорость и ускорение (первая и вторая производные соответственно). Поэтому для работы с любой системой достаточно одного уравнения F = ma. В механике Гамильтона переменных две: x(t) и p(t), а значит, потребуются и два уравнения. Они у нас есть: это производные импульса и положения:

(4.2)

(4.3)

Первое уравнение нам знакомо. Это второй закон Ньютона F = ma, который записан несколько непривычно. Вспомните выражение (3.13), где мы заменили ma на dp/dt, а также (3.3), которое говорит, что сила равна отрицательному значению производной потенциала по положению. Знакомо нам и второе уравнение, (4.3): это определение импульса (масса на скорость, p = mν), но совершенно в иной трактовке. Тот, кто поймет, в чем отличие, полюбит механику Гамильтона всем сердцем.