Занимательная логика. Задачи и решения - Яков Исидорович Перельман Страница 13

Трудно ли изображать числа в других системах счисления? Нисколько. Положим, вы желаете число 119 изобразить в пятеричной системе. Делите 119 на 5, чтобы узнать, сколько в нем единиц первого разряда: 119: 5 = 23, остаток 4.

Значит, число простых единиц будет 4. Далее, 23 пятерки не могут стоять все во втором разряде, так как высшая цифра в пятеричной системе — 4, и больше 4 единиц ни в одном разряде быть не должно. Делим поэтому 23 на 5: 23: 5 = 4, остаток 3.

Это показывает, что во втором разряде («пятерок») будет цифра 3, а в третьем («двадцатипятерок») — 4.

Итак, 119 = 4 × 25 + 3 × 5 + 4, или в пятеричной системе «434».

Произведенныее действия для удобства располагают так:

Курсивные цифры (при письме можно их подчеркивать) выписывают справа налево и сразу получают искомое изображение числа в иной системе.

Сила мысли. Из истории науки

Из мира чисел

Предметом настоящего очерка будут не бесплодные мистические умозрения, которым так любили предаваться философы пифагорской школы, но то чудесное, которое действительно заключается в числах. Во всех тех случаях, где наши представления о предметах становятся неясными вследствие их невообразимой громадности или ничтожности, там «мертвые» цифры одни лишь в состоянии дать твердую опору нашему мышлению. Конечно, не всегда употребление чисел ведет к уяснению предмета. Часто приходится слышать такие фразы: «Что можно разобрать в этих длинных рядах чисел?» Разумеется — ничего, если числа употреблены неуместно. Но в громадном большинстве случаев в том и состоит достоинство чисел, что они дают воображению нормальную меру для оценки вещей, и можно указать на много примеров, где наши знания, не основанные на точных числовых данных, теряют всякое значение. С особенным правом это можно сказать о чрезвычайно малых величинах, еще менее доступных нашему воображению, чем те нескончаемые колонны цифр, с какими беспрестанно приходится сталкиваться в астрономии.

Начнем с последней. Блуждая глазами в чудный летний вечер по темно-синему бархату неба, усеянному тысячами мерцающих точек, кто не задавал себе вопроса: как далеки от нас эти загадочные светила? Из каких отдаленных областей Вселенной шлют они нам свой кроткий, мерцающий свет? Ответ на подобный вопрос не так прост. Возьмем для примера яркую звезду в задней левой ноге всем известной Большой Медведицы — звезду, которая по Струве[7] в 120 раз превосходит наше Солнце в объеме; оказывается, расстояние ее от нас в 71/2 миллионов раз более радиуса земной орбиты. Умножьте 20 000 000 миль[8] на 7 500 000, и вы получите для этого расстояния почтенную величину в 150 триллионов миль!

Свет, как известно, пробегает в секунду круглым числом 40 000 миль и употребляет 8½ минут, чтобы пройти расстояние от нас до Солнца. Но чтобы достигнуть до нас от ближайшей звезды — яркой α в созвездии Центавра (невидимой в северном полушарии), световой луч должен пространствовать целых 3½ года. Для избежания очень больших чисел при измерении звездных расстояний астрономы даже ввели в употребление особую единицу — так называемый «световой год», т.е. путь, проходимый светом в течение одного года[9]. Световой год, следовательно, равен 40 000 миль, умноженным на число секунд в году; мы советуем читателю проделать это вычисление, чтобы убедиться, что эта новая «космическая» мера длины не очень мала. Тем не менее, она не оказалась и слишком громоздкой: Гершель, например, пытался определить расстояние до Земли самого отдаленного из видимых в его телескоп туманных пятен — и оказалось, что оно равно не менее чем 20 миллионам световых лет! Над этим стоит призадуматься. Световой год равен 1¼ триллиону миль; следовательно, упомянутое туманное пятно удалено от нас на 1 250 000 000 000 × 20 000 000 = 25 квинтиллионов миль!

Будет совершенно бесполезно продолжать далее, если мы не составим себе сколько‐нибудь ясного представления об упомянутых числах. Мы слышим о триллионах и квинтиллионах, но понимаем ли мы ясно, как велик один триллион? Постараемся несколько разъяснить это понятие. Знаете ли, например, сколько нужно времени, чтобы сосчитать до триллиона? Считая безостановочно день и ночь по три в секунду, мы должны будем продолжать такой счет… 10 000 лет!

Но в астрономии приходится иметь дело не с одними расстояниями, а и с объемами небесных тел; так, например, объем Солнца равен 3,326 триллионам кубических миль[10]. Для того чтобы сосчитать эти 3,326 триллиона, потребовалось бы по прежнему расчету 34 миллиона лет!

Даже одна кубическая и квадратная миля есть также очень солидная величина. Вообразим, что мы складываем в одно место кубики в 1 кубический дециметр, каждую секунду по одному; проработав таким образом 13 миллионов лет, мы сложим наконец одну кубическую милю. На поле, имеющем по миле в длину и ширину, с удобством может поместиться ⅓ всего населения земного шара[11].

После этого отступления мы можем идти далее. Какова истинная температура Солнца — того очага, который служит единственным источником энергии на Земле и других планетах нашей системы — точно установить, разумеется, нельзя[12]. Целльнер[13] определяет ее в 13 250° по Цельсию на поверхности светила и в 1 112 000 °C в центре, в то время как другие исследователи дают или меньшие числа — 8 000 °C, или гораздо бoльшие — 4 000 000 °C. Точнее удается определить то количество тепла, какое наша Земля получает от Солнца.

Если бы можно было собрать все тепло, получаемое нами в течение года, то его хватило бы, чтобы растопить слой льда, облекающий всю поверхность Земли и имеющий в толщину 15 саженей[14]. Количеством теплоты, которое излучает Солнце на Землю в один день, можно было бы нагреть 273 миллиона кубических метров воды на 1 °C; нужно сжечь 9 триллионов килограммов углерода (каменного угля, например), чтобы искусственно произвести то же количество тепла. Не