Великая математическая война. Как три блестящих ума сражались за основания математики - Джейсон Сократ Барди Страница 15

что многим кажется абсурдным, и пять лет перед 1883 годом идеи Кантора подвергаются резкой критике. Почему? Подумайте об этом так: представьте, что вы берете каждое натуральное число и кладете его в ведро – единым, завершенным актом. Теперь представьте второе ведро. Положите в него только некоторые числа, например все простые (которые делятся только на единицу и на само себя: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…}). Или возьмите все нечетные числа {1, 3, 5…}. Или все четные {2, 4, 6…}. Или только числа Фибоначчи – множество чисел, придуманное для описания размножения кроликов, где каждое число в ряду представляет собой сумму двух предыдущих {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…}. Наполните разные ведра и сравните их. Какое ведро самое тяжелое? Здравый смысл скажет, что первое. В нем есть все числа, поэтому оно должно быть тяжелее. Галилей отчаянно хочет, чтобы это было так.

Это имеет смысл с точки зрения нашей повседневной, конечной логики. Если у вас есть ведро со всеми молотками из строительного супермаркета и вы сравниваете его с подмножеством – скажем, только с розовыми молотками (которых совсем мало), – здравый смысл скажет, что первое ведро намного тяжелее. Так и есть. Но это ошибка, основанная на ограниченном мышлении реального мира, и она не работает с бесконечными множествами.

Бесконечные множества устроены совершенно иначе. Когда вы сравниваете две завершенные бесконечные коллекции чисел, одна из которых является подмножеством другой, они обе одинаково бесконечны. Фактически само определение завершенного, «счетного» множества, по Кантору, состоит именно в том, что его элементы можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с натуральными числами. Кантор не просто утверждает, что бесконечное подмножество равно своему бесконечному исходному множеству, – он это доказывает. Какого черта, Кантор?!

Здесь все становится по-настоящему интересным, потому что Кантор не останавливается на достигнутом. Он также показывает, что не все бесконечности равны. Есть более крупный тип бесконечности: множество всех десятичных чисел – «вещественные числа». Он говорит, что это множество является несчетным.

Представьте числовую прямую. На ней лежит бесконечно много натуральных чисел. Но между любыми двумя числами можно втиснуть бесконечное множество дробей: {1; 1,000001; 1,00001; 1,0001; 1,001; 1,01; 1,1…}.

Я сказал, что здесь становится интересно? На самом деле, здесь все становится по-настоящему странным. Кантор уже бросил вызов здравому смыслу с помощью бесконечных множеств натуральных чисел. Теперь он собирается нарушить один из базовых принципов геометрии, которого придерживались с древних времен, – если не бросить вызов самой реальности.

«Je le vois, mais je ne le crois pas!»

Люди всегда полагались на базовую, интуитивную – или, как некоторые говорят, «наивную» – и совершенно очевидную концепцию трехмерного пространства. Тысячелетиями математика определялась геометрией, занимаясь фигурами и пространством. Затем пришла научная революция с открытиями Пьера де Ферма и особенно Декарта, благодаря координатам последнего стало можно алгебраически описывать точки в пространстве. В начале XIX века, со взрывным ростом теории чисел, на авансцену выходят числа. А затем появляется Кантор. Вместе с теорией множеств он провозглашает совершенно новый взгляд и на пространство, и на числа.

Наивный взгляд на трехмерное пространство до Кантора предполагает, что число точек на линии, в круге или в кубе растет вместе с числом измерений. Точно так же, как одна линия состоит из бесконечного числа точек, предполагается, что при добавлении измерений происходит то же самое. Плоскость состоит из бесконечного числа линий. Трехмерное пространство заполнено бесконечным числом таких плоскостей. Теперь спросим: где больше точек – на линии, на плоскости или в трехмерном пространстве? Ответ кажется интуитивно ясным. Вся бесконечность одной линии – ничто по сравнению с обширностью бесконечной плоскости. А любая малая плоскость просто меркнет перед бесконечностью стопки плоскостей, образующих трехмерное пространство. Кажется даже глупым спрашивать, где больше точек. Линия больше точки. Плоскость больше линии. А трехмерное пространство больше одной жалкой плоскости. Все верно, не так ли?

Только не для Кантора. И не для теории множеств.

К концу 1870-х Кантор получил странный результат: мощность бесконечного множества вещественных чисел не зависит от размерности. Это означает, что бесконечная совокупность точек в трехмерном пространстве абсолютно эквивалентна бесконечности точек на одной двумерной плоскости, которая, в свою очередь, равна всем точкам, содержащимся на одной линии в этой плоскости.

Опять же, для конечного разума это не имеет смысла. Как одна линия может вмещать столько же точек, сколько целая плоскость? Но вмещает, говорит Кантор – и показывает это, – потому что все они одинаково несчетны. Множества вещественных чисел – это одинаково большая бесконечность, неважно, выстроены ли они в линию, разбросаны по плоскости или рассыпаны по просторам трехмерного пространства. Используя странные, невиданные методы, Кантор демонстрирует, что все эти точки можно выстроить во взаимно-однозначное соответствие. Большая бесконечность несчетна. И она огромна по сравнению с исчислимой, счетной, малой бесконечностью.

Когда Кантор впервые открывает это, он восклицает: Je le vois, mais je ne le crois pas! («Я вижу это, но не верю этому!») Его рецензенты тоже не верят – и не скрывают своего презрения. Люди отвергают его работу, потому что она их шокирует. Некоторым кажется, что Кантор зашел слишком далеко. Но он не останавливается.

* * *

Люди всегда считали, что целое больше части – мы часто даже говорим: целое больше даже суммы своих частей. Но теория множеств опровергает то, что кажется нам самоочевидным. Она говорит: целое не больше части. Иногда они равны. А иногда часть даже больше целого.

Его недоброжелатели считают, что Кантор должен стыдиться содеянного. Но он не стыдится. Напротив, он в высшей степени самоуверен. Он кричит о своих открытиях на каждом углу. Кантор – человек, грезящий о великом, и его терзают сложные материи – бесконечность! Он знает, что его работа преобразит мир.

Но у мира другие планы.

После 1883 года жизнь Кантора легкой не назовешь. Его методы странны. Результаты причудливы. Некоторым коллегам он кажется чудаковатым и самонадеянным. К тому же его душевное состояние крайне неустойчиво. Даже когда его идеи врываются в европейскую математику, их принимают настороженно. Как позже скажут американские историки науки Лорен Грэм и Жан-Мишель Кантор, «им были не рады». Многие математики отвергают теорию множеств, иногда яростно. К моменту завершения книги в 1883 году ему приходится тратить столько же времени на защиту своих идей, сколько и на их изложение. А после начинается его долгое, странное странствие – смесь злоключений Пиноккио и безумия Одиссея.

Возможно, он – Пиноккио. А может быть, он скорее Прометей. Он крадет огонь богов для человечества и, подобно герою трагедии Эсхила 2500-летней