Великий треугольник, или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков - Владимир Артурович Левшин Страница 53

— Что там, Асмодей?

— Задача, мсье! Я ее выудил из того самого фонтана, подле которого мы с вами отдыхали. Вы, конечно, помните, какие там были красивые рыбки, но вряд ли заметили, что их было четырнадцать, в том числе две золотые. Из этих четырнадцати я зачерпнул восемь. Вам остается решить, какова вероятность, что две золотые окажутся среди этих восьми.

Фило вопросительно смотрит на товарища. Тот, почесывая переносицу, говорит, что прежде всего следует установить число всех возможных комбинаций, затем — число благоприятных и наконец, разделив второе на первое, получить искомую вероятность.

— Что касается общего числа комбинаций, то это и я могу, — говорит Фило. — Надо вычислить число сочетаний из четырнадцати рыбок по восьми. А это… Мате, где ваш блокнот? Это можно записать так: С148 равно…

— Постойте, — не соглашается Мате, — зачем вычислять из 14 по 8? Не лучше ли воспользоваться известной формулой, где Спm = Спп—т, то есть С148 = С146.

— В самом деле! Как это я забыл? Но вот вопрос: каким образом это С из четырнадцати по шести вычислить?

— Да так, как это делал Ферма, когда вычислял число сочетаний из восьми по три. Вспомните: он выписывал первые восемь натуральных чисел и отделял в этом ряду слева и справа по три числа — 1, 2, 3 и 8, 7, 6. Затем он составлял дробь, где в числителе стоит произведение правой тройки чисел, а в знаменателе — левой…

— Не продолжайте, — перебивает Фило, — я уже все понял. Выписываем натуральный ряд чисел от 1 по 14, отделяем шесть чисел слева и столько же справа и составляем дробь:

(14×13×12×11×10×9)/(1×2×3×4×5×6),

что после сокращения дает 77×39. Итак, С148 = С146 = 77 × 39. Да, но как же мы вычислим число благоприятных случаев? — Фило мрачно взирает на блокнот. — Мате, Асмодей, что же вы молчите?

— Рассчитываете на меня, как на запасного игрока? — язвит Мате.

— Не будьте столь непреклонны, мсье! — заступается бес. — Не можем же мы отказать в помощи новичку, который делает первые шаги в научной комбинаторике! Так вот, мсье Фило, если две золотые рыбки уже выловлены, то из двенадцати оставшихся к ним надо добавить шесть любых. Иначе говоря, вычислить число сочетаний из двенадцати по шести, что равно вот чему:

C126 = (12×11×10×9×8×7)/(1×2×3×4×5×6) = 77×12

От избытка признательности Фило посылает ему воздушный поцелуй.

— Благодарю, благодарю и в третий раз благодарю! Но дальше я уж сам, хе-хе… Делим число благоприятных комбинаций на число всех возможных: С126 на C148, и искомая вероятность у нас в кармане:

p = C126 / C148 = (77×12) / (77×39) = 12/39 = 4/13 ≈ 0.33

— Как, так мало? — Фило явно разочарован. — Стало быть, в вашей сумке, Асмодей, нет ни одной золотой рыбки?

— Но-но-но, мсье! Не забывайте, с кем имеете дело! Тридцать три процента для черта — вероятность громадная!

Он щелкает пальцами, и на столе появляется наполненный водой аквариум. А спустя секунду в нем уже плавают восемь прехорошеньких рыбок. Две золотые, окруженные ресничками плавников, пламенеют среди них, как ненароком сорвавшиеся с неба и всё еще не остывшие звездочки. Мате рассматривает их с нескрываемым удовольствием. Уж этот Асмодей! Где ему обойтись без фокусов…

— По-моему, он работает не хуже Акопяна, — восторгается Фило. — Как вы думаете, Мате?

Бес дурашливо раскланивается.

— Мсье, вы мне льстите! Однако программа наша еще не окончена. Оркестр, туш! Ваш выход, мсье Мате! Да, да, не смотрите на меня такими удивленными глазами. Надо же мне познакомиться с вашими собственными числовыми изысканиями!

— Полно, — смущается тот. — После Паскаля, Лейбница и Ньютона…

— Не боги горшки обжигают, мсье, — подбадривает черт. — Думаете, я не знаю, что один из ваших арифметических треугольников пригодился для решения некоего дифференциального уравнения, а другой — для расчета авиационного вала?

— Дела давно минувших дней. Знали бы вы, что я придумал месяц назад! Однажды я заинтересовался изосуммарными числами…

— Чем-чем? — переспрашивает Фило.

Оказывается, Мате изобрел это название сам. Приставка <изо» означает «равные». Следственно, изосуммарные числа — такие, у которых сумма цифр одинакова. Вот, например: 6, 15, 24, 33, 105, 204, 600. Сумма цифр у каждого из этих чисел равна 6. И значит, все они изосуммарные.

Для краткости Мате назвал сумму цифр индексом. И вот ему захотелось узнать, сколько имеется изосуммарных чисел с разными индексами, то есть равными единице, двойке, тройке и так далее. Сперва он стал их разыскивать среди однозначных чисел, затем среди двузначных, трехзначных, четырехзначных… А из найденных построил таблицу. Без таблицы, сами понимаете, в таком деле не обойтись.

— Перед вами таблица распределения изосуммарных чисел, — продолжает Мате, раскрывая блокнот. — Здесь буква «k» — значность чисел. Она у меня помещается в левом столбце. Буква «i» — индекс числа. Индексы я отложил на верхней горизонтали. Как видите, индекс не превышает девяти, в то время как значность может быть любая, до бесконечности.

— А почему индекс, то есть сумма цифр, тоже не может возрастать до бесконечности? — сейчас же прилипает Фило.

— Все в свое время! Итак, вы видите, что количество изосуммарных чисел с индексом 1 всегда равно единице для любой значности.

— Стойте, — перебивает Фило. — Ваша таблица — это же числа треугольника Паскаля!

— Молодец, что заметили. У меня и в самом деле получился треугольник Паскаля, хотя и в форме прямоугольника, то есть в том виде, как его изображал Тарталья.

— Значит, — размышляет Фило, — по этой таблице можно заранее узнать, сколько существует, скажем, четырехзначных чисел, сумма цифр которых равна, допустим, пяти.

— Конечно. Надо только найти в ней число, стоящее в четвертой строке и в пятом столбце.